III
Aufgaben zur Vektorrechnung
III.1 Outputvektoren
Ein Unternehmen hat zwei Fabriken, die als Output drei verschiedene Güter produzieren. Die gesamte
Arbeitskraft ist fest. Wenn ein Anteil λ der Arbeitskraft der ersten Fabrik und der Anteil 1 λ (mit
0 λ 1) der zweiten Fabrik zugewiesen wird, so ist der gesamte Output der drei Güter gegeben
durch den Vektor
λ ·
8
4
4
+ (1 λ)
2
6
10
=
6λ + 2
2λ + 6
6λ + 10
.
1. Ist es dem Unternehmen möglich, einen der zwei Outputvektoren a = (5, 5, 7)
T
und b = (7, 5, 5)
T
zu produzieren, wenn kein Output vernichtet werden darf?
2. Wie ändern sich Ihre Antworten, wenn Output vernichtet werden darf?
3. Wie wird die den Erlös maximierende Wahl des Anteils λ von dem Verkaufspreis (p
1
, p
2
, p
3
) dieser
drei Güter abhängen? Welche Bedingung müssen die Preise erfüllen, damit beide Fabriken in
Betrieb bleiben sollen?
Lösung
1. Wenn kein Output vernichtet werden darf, kann der Outputvektor a mit λ =
1
/2 produziert werden.
Der Outputvektor b ist nicht produzierbar.
2. Wenn Output vernichtet werden darf, ist b trotzdem nicht produzierbar.
3. f(λ) = λ (6p
1
2p
2
6p
3
) + 2p
1
+ 6p
2
+ 10p
3
max
Die Funktion f(λ) = λ · m + n ist linear. Damit beide Fabriken bestehen bleiben, muss
m = 6p
1
2p
2
6p
3
= 0
gelten. Für m > 0 läge das Maximum bei λ = 1 und für m < 0 läge das Maximum bei λ = 0.
viii