IV.3 Effektivzinssatz
Ein Kapital K
0
werde jährlich mit dem Zinssatz i
k
, k = 1, . . . , n, verzinst. Der Zinsertrag wird sofort
wieder angelegt. Wie hoch ist der Effektivzinssatz i
eff
dieser Anlage? Unter welchen Voraussetzungen
stimmt er mit dem arithmetischen Mittel der einzelnen Jahreszinssätze überein?
Lösung
Das Äquivalenzprinzip verlangt die Gleichheit der Endwerte beider Zahlungsreihen nach n Jahren im
entsprechenden Zinsmodell. Eine Zahlungsreihe entsteht durch die jährliche Verzinsung des Startkapitals
K
0
mit den Zinssätzen i
k
(rechte Seite der folgenden Gleichung). Die zweite Zahlungsreihe entsteht,
indem für jedes Jahr der gleiche Zinssatz i
eff
angenommen wird (linke Seite).
K
0
(1 + i
eff
)
n
= K
0
(1 + i
1
) ···(1 + i
n
).
Nach Elimination von K
0
und ziehen der n–ten Wurzel (siehe Abschnitt
1.3) folgt
1 + i
eff
=
n
(1 + i
1
) ···(1 + i
n
). (IV.3.1)
Die rechte Seite der Gleichung stellt ein geometrisches Mittel dar.
Arithmetische und geometrische Mittel über Zahlen a
k
0, k = 0, . . . , n, sind mit folgender Unglei-
chung verbunden (A. L. Cauchy 1821):
n
a
1
···a
n
a
1
+ ··· + a
n
n
(IV.3.2)
oder in kompakter Form:
n
n
k=1
a
k
1
n
n
k=1
a
k
Gleichheit gilt genau dann, wenn a
1
= a
2
= . . . = a
n
.
Aus Ungleichung (IV.3.2) und Gleichung (IV.3.1) folgt
1 + i
eff
(1 + i
1
) + . . . + (1 + i
n
)
n
i
eff
i
1
+ . . . + i
n
n
=
1
n
n
k=1
i
k
Der Effektivzinssatz beträgt
i
eff
=
n
(1 + i
1
) ···(1 + i
n
) 1.
Er ist identisch mit dem arithmetischen Mittel der einzelnen Jahreszinssätze, falls diese identisch sind.
xiv