V
Aufgaben zur Differentialrechnung
V.1 Elektronenstrahl–Oszilloskop
Beim Elektronenstrahl–Oszilloskop werden die von einer Glühkathode ausgesandten Elektronen zu-
nächst auf eine konstante Geschwindigkeit v
0
beschleunigt und treten dann senkrecht zu den elek-
trischen Feldlinien in einen auf die Spannung U aufgeladenen Plattendetektor ein, wo sie aus ihrer
ursprünglichen Richtung abgelenkt werden (vgl. Abb. V.1). (Platten: Abstand d zueinander und Länge l.
Elektronen: Elementarladung e und Ruhemasse m
0
)
1. Unter welchem Ablenkwinkel α (gegenüber der Eintrittsrichtung gemessen) verlassen die Elektro-
nen den Kondensator?
2. Im Abstand s hinter dem Kondensator befindet sich ein Auffangschirm für die Elektronen. Wie
groß ist die seitliche Ablenkung b der Elektronen auf diesem Schirm, gemessen gegenüber der
ursprünglichen Flugbahn?
Lösungshinweis: Bestimmen Sie zunächst die Bahnkurve der Elektronen im Plattenkondensator.
x
y
A
B
C
+ + + +
- - - -
v
0
m
0
d
2
d
2
l
E
s
α
b
Abbildung V.1: Elektronenstrahl–Oszilloskop
Lösung
1. Die Koordinaten (x, y) eines Elektrons zur Zeit t mit einer Beschleunigung a lauten
x = v
0
t, y =
1
2
at
2
, a = (eU)/(m
0
d)
y =
eU
2m
0
d
t
2
t=x/v
0
= y = f (x) =
eU
2m
0
d
x
v
0
2
.
Im Punkt B verlassen die Elektronen den Kondensator und bewegen sich geradlinig auf der
Bahntangenten weiter auf den Schirm zu. Es gilt:
f
(xB) = tan α α = arctan
eUl
m
0
dv
2
0
.
2. Im Auftreffpunkt C = (l + s, b) beträgt die Auslenkung
b =
eUl(l + 2s)
2m
0
dv
2
0
.
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