V.3 Grenzkosten, Grenzertrag und Grenzgewinn
Ein Unternehmen produziert in einer Zeitperiode x Einheiten einer Ware. Der Gewinn der Produktion
π(x) ist die Differenz aus dem Ertrag R(x) und den Produktionskosten C(x).
Die Grenzkosten C
(x) sind definiert als die Ableitung der Kosten C(x). Sie geben die Kosten an, die
durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit eines Produktes entstehen. Analog ist der Grenzertrag
R
(x) die Ableitung des Ertrags R(x), er beschreibt den Ertragszuwachs bei Verkauf einer weiteren
Produktionseinheit. Der Grenzgewinn π
(x) ist die Ableitung des Gewinns π(x). Er gibt den erwarteten
Gewinn für eine weitere produzierte Einheit eines Produktes an und kann Aufschluss darüber geben,
wieviele Einheiten produziert werden müssen, um die Gewinnschwelle zu erreichen.
Bestimmen Sie den Grenzertrag, die Grenzkosten und den Grenzgewinn sowie einen Wert x, so dass
der Grenzgewinn Null ist, für
1. R(x) = ax, C(x) = a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
,
2. R(x) = ax bx
2
, C(x) = a
1
x + b
1
.
Lösung
1. π(x) = a
1
x
2
+ (a b
1
)x c
1
,
R
(x) = a,
C
(x) = 2a
1
x + b
1
,
π
(x) = 2a
1
x + a b
1
,
π
(x) = 0 x =
a b
1
2a
1
2. π(x) = bx
2
+ (a a
1
)x b
1
,
R
(x) = a 2bx,
C
(x) = a
1
,
π
(x) = 2bx + a a
1
,
π
(x) = 0 x =
a a
1
2b
xix