VI
Aufgaben zur Integralrechnung
VI.1 Massenträgheitsmoment eines Rotationskörpers
Abbildung
VI.1 zeigt einen homogenen Ellipsoi-
den, also einen Rotationskörper mit elliptischem
Querschnitt. Er entsteht durch Drehung einer Ellip-
se mit den Halbachsen a und b um die y–Achse.
1. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment
J
y
des Ellipsoidstumpfes (hellblau) bezüg-
lich der Rotationsachse in Abhängigkeit vom
Parameter h (2h Höhe des Rotationskör-
pers, 0 h b). Wie groß ist das Volumen
dieses Körpers?
2. Welche Werte ergeben sich aus dem ersten
Teil für die Massenträgheitsmomente eines
Rotationsellipsoids und einer Kugel vom Ra-
dius R? Wie groß sind die Volumina dieser
Körper?
h
a
b
x
y
Abbildung VI.1: Rotationsellipsoid
Lösung
1. Das Massenträgheitsmoment ist definiert als
J =
V
r
2
ρ(r)dV.
Dieses Integral ist in diesem Rahmen zu schwer zu lösen. In Tafelwerken ist jedoch die einfache
Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders mit Radius R und Masse m, bzw. Volumen V =
m/ρ
J
Zylinder
=
1
2
mR
2
ρ1
=
1
2
V R
2
zu nden. Diese Formel kann genutzt werden, wenn der Rotationskörper in Zylinderscheiben
zerteilt wird, die senkrecht zur y–Achse stehen. Der Radius der Scheiben ist die x–Auslenkung
der begrenzenden Funktion x = R(y). Die Zahl der Scheiben wird vergrößert, sodass sich deren
Höhe H = y und damit auch das Volumen V auf infinitesimale Größe verringert (dy bzw. dV )
V = πR(y)
2
y dV = πR(y)
2
dy.
Es folgt für einen einzelnen Zylinder
J
Zylinder
=
1
2
πR(y)
4
dy.
xx