Für den gesamten Rotationskörper wird nun über alle unendlich dünnen Zylinder summiert, es
findet eine Integration im Intervall [h, h] statt
J
y
=
h
h
J
Zylinder
=
h
h
1
2
πR(y)
4
dy =
π
2
h
h
R(y)
4
dy.
Der Körper ist symmetrisch zur x, z–Ebene, d. h. es genügt eine Hälfte des Körpers zu berechnen
(0 y h statt h y h) und den errechneten Wert dann zu verdoppeln
J
y
= π ·
h
0
R(y)
4
dy.
Die Formel für x = R(y) resultiert aus der Ellipsengleichung
1 =
x
2
a
2
+
y
2
b
2
|
y
2
b
2
, ·a
2
x
2
=
a
2
b
2
b
2
y
2
(VI.1.1)
Es folgt für das Massenträgheitsmoment
J
y
= πρ ·
h
0
x
2
2
dy =
πρ · a
4
b
4
·
b
4
h
2
3
b
2
h
3
+
1
5
h
5
Das Volumen wird mit Hilfe von Gl. (
7.4.1) gelöst, der Argumentbereich x = R(y) wird dabei
von y = h und y = h begrenzt
V = π
h
h
x
2
dy
(
VI.1.1)
= π = π
a
2
b
2
2b
2
h
2
3
h
3
2. Rotationsellipsoid (h = b):
J
Ellipsoid
=
8
15
πρa
4
b V
Ellipsoid
=
4
3
πa
2
b
Kugel mit Radius R (a = b = R):
J
Kugel
=
8
15
πρR
5
V
Kugel
=
4
3
πR
3
xxi