I
Aufgaben zu Gleichungen, Ungleichungen und
Systemen
I.1 Stöchiometrie einer chemischen Reaktion
Photosynthese ist die Erzeugung energiereicher Stoffe, wie z. B. Zucker C
6
H
12
O
6
und Sauerstoff O
2
, aus
energieärmeren Stoffen, wie z. B. Kohlendioxid CO
2
und Wasser H
2
O. In welchem Verhältnis stehen die
stöchiometrischen Koeffizienten x
i
N zueinander (i = 1, . . . , 4)?
x
1
· CO
2
+ x
2
· H
2
O x
3
· C
6
H
12
O
6
+ x
4
O
2
(I.1.1)
Lösung
Gleichung (
I.1.1) kann aus mathematischer Sicht auch geschrieben werden als
x
1
· C + 2x
1
· O + 2x
2
· H + x
2
· O = 6x
3
· C + 12x
3
· H + 6x
3
· O + 2x
4
· O
Komponentenweise gilt dann
C: 1x
1
- 6x
3
= 0
O: 2x
1
+ 1x
2
- 6x
3
- 2x
4
= 0
H: 2x
2
- 12x
3
= 0
Es liegt ein homogenes System aus drei Gleichungen mit vier Unbekannten vor. Daher gibt es unendlich
viele Lösungen (vgl. Abschnitt
3.1.3). Es darf also eine Variable frei gewählt werden. Mit x
3
= t folgt:
x
1
= x
2
= x
4
= 6t. Für t = 1 folgt
6 · CO
2
+ 6 · H
2
O C
6
H
12
O
6
+ 6O
2
.
iii