II
Funktionen
II.1 Federschwingung
Ein Körper mit Masse m durchfällt die Höhe h und trifft zur Zeit t = 0 am Ort z(0) auf eine senkrecht
stehende Schraubenfeder mit Federkonstante k. Nach dem Auftreffen bleibt der Körper mit der Feder
verbunden, sodass eine harmonische Schwingung entsteht. Der Koordinatenursprung z = 0 soll in die
Ruhelage der Schwingung gelegt werden. Die Masse der Feder bleibt unberücksichtigt.
1. Bestimmen Sie den Anfangsort z(0) und die Anfangsgeschwindigkeit v
z(0)
der harmonischen
Schwingung.
2. Bestimmen Sie für diese Schwingung die in der Ort–Zeit–Funktion z(t) enthaltenen unbekannten
Größen.
3. Welche maximale Geschwindigkeit v
z,max
tritt bei dieser Schwingung auf?
Lösung
1. Die Federkraft F (z) ist das Produkt aus Federkonstante k und der Auslenkung aus der Ruhelage
(z = 0). Deshalb gilt für die Federkraft
F (z) = k ·(z z(0)) .
Die Ruhelage z = 0 ist dort, wo Gewichtskraft G und Federkraft F (z) im Gleichgewicht sind:
F (z) = G.
Mit F (0) = k · z(0) und G = m ·g folgt
k ·z(0) = mg z(0) =
mg
k
. (II.1.1)
Die Anfangsgeschwindigkeit v
z(0)
dieser Schwingung liefert der Energiesatz, angewandt auf den
freien Fall:
mgh =
m
2
· v
2
z(0)
v
z(0)
=
2gh.
(Siehe hierzu die Abschnitte
1.2, 1.3 und 3.2.)
Das Vorzeichen wird unter Berücksichtigung der positiven z–Richtung gewählt.
2. Die Ort–Zeit–Funktion der harmonischen Schwingung lautet
z(t) = z
max
· cos(ω
0
t + α), (II.1.2)
wobei ω
0
=
k
/m die Kreisfrequenz der Federschwingung ist. Die beiden Unbekannten (Ampli-
tude z
max
und Nullphasenwinkel α) müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Zur
eindeutigen Bestimmung von zwei Unbekannten sind zwei Gleichungen nötig (siehe Abschnitt
3).
Die notwendige zweite Gleichung wird aus Gl. (II.1.2) durch Differenzieren nach der Zeit gewon-
nen:
v
z(t)
= z
max
· ω
0
· sin(ω
0
t + α). (II.1.3)
iv