Fakultät für Mathematik und Informatik
Fakultät für Mathematik und Informatik
Preprint 2012-03
Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva
ISSN 1433-9307
Mathematische Grundlagen zur Vorbereitung
des Studiums an der Technischen Universität
Bergakademie Freiberg
Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva
Mathematische Grundlagen
zur Vorbereitung des Studiums an der Technischen
Universität Bergakademie Freiberg

TU Bergakademie Freiberg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Prüferstraße 9
09596 FREIBERG
http://www.mathe.tu-freiberg.de
ISSN 1433 – 9307
Herausgeber: Dekan der Fakultät für Mathematik und Informatik
Herstellung: Medienzentrum der TU Bergakademie Freiberg
Mathematische Grundlagen
zur Vorbereitung des Studiums an der Technischen
Universität Bergakademie Freiberg
Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva
6. August 2012
Bemerkungen
Das folgende Heft dient der selbständigen Wiederholung des mathematischen Schulstoffes anhand von
praktischen Aufgaben.
Der Inhalt ist durch farbige Boxen kodiert: wichtige theoretische Sachverhalte in blau, mögliche Fehler-
quellen in
rot und die Beispielaufgaben in grün. Dies ermöglicht eine selektive Bearbeitung des Heftes.
Wer nur die Theorie wiederholen möchte, kann sich auf die blauen Boxen beschränken. Wer sich statt-
dessen zum Einstieg an einer Aufgabe probieren möchte, richtet seine Aufmerksamkeit auf die grünen
Boxen.
Mit
orange markierten Zahlen sind Links markiert, die bei Klick auf entsprechende Zahl zur zugehörigen
Referenz führen.
Die vorgestellten Aufgaben wurden teilweise aus den folgenden Büchern entlehnt:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele, Lothar Papula, 5.
Auflage, 2004, Vieweg Verlag
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug, Knut Sydsaeter, Peter
Hammond, 2. Auflage, 2006, Pearson Studium
Mathematik in der Biologie, Annika Eickhoff–Schachtebeck, Anita Schöbel, 2009,
http://optimierung.math.uni-goettingen.de/skripte/bioskript.pdf
1
1
Arithmetik
1.1 Proportion (Dreisatz)
Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer Variablen (vgl. Abschnitt
3.1.1) nehmen
die Proportionen ein. Eine Proportion ist eine Verhältnisgleichung a : b = c : d bzw. in Bruchschreibweise
a
/b =
c
/d (gesprochen: a verhält sich zu b wie c zu d, vgl. Abschnitt
C.4). Diese Proportion lässt sich
verschieden umformen. Äquivalente Formen sind:
d
c
=
b
a
a
c
=
b
d
d
b
=
c
a
b
a
=
d
c
a ·d = b ·c,
dabei muss der Nenner stets ungleich 0 sein.
Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann lässt sich das vierte Glied berechnen. Sind
zum Beispiel a, b, c bekannt und d gesucht, so gilt d =
bc
a
.
Beispiel 1.1.
4
5
=
x
x + 1
(x = 1) 4(x + 1) = 5x 4x + 4 = 5x x = 4.
Aus der Proportion
a
/b =
c
/d lassen sich weitere Proportionen ableiten, etwa durch Addition oder
Subtraktion von 1 auf beiden Seiten. Solche Umformungen der Proportion werden korrespondierende
Addition oder korrespondierende Subtraktion genannt:
a + b
b
=
c + d
d
a
a + b
=
c
c + d
a b
b
=
c d
d
a
a b
=
c
c d
Beispiel 1.2. geometrische Anwendung: Strahlensatz
Er ermöglicht Aussagen über Streckenverhältnisse und die Bestimmung fehlender Seitenlängen. Bei
Kenntnis von drei Seitenlängen können die fehlenden mit Hilfe folgender Gleichungen bestimmt wer-
den.
Z
A
A
B
B
AB
A
B
=
ZA
ZA
=
ZB
ZB
ZA
AA
=
ZB
BB
2
1.2 Potenzen
Eine Zahl der Form a
n
(gesprochen: a hoch n“) wird Potenz genannt. Dabei wird a als Basis und n als
Exponent bezeichnet. Für a R\{0} (gleichbedeutend mit a R, a = 0) und n N gilt:
a
n
= a ·a ···a

n Faktoren
.
Potenzgesetze mit m, n Z und a, b R \{0}:
a
m
· a
n
= a
m+n
(1.2.1)
a
n
· b
n
= (ab)
n
(1.2.2)
(a
m
)
n
= a
m·n
(1.2.3)
a
m
a
n
= a
mn
(1.2.4)
a
n
b
n
=
a
b
n
(1.2.5)
Konventionen (a R \{0}, n Z, m N\{0}):
a
0
:= 1 (1.2.6)
a
1
:= a (1.2.7)
a
n
:=
1
a
n
(1.2.8)
0
m
:= 0 (1.2.9)
Die Ausdrücke 0
0
und 0
n
sind für n N nicht definiert.
Allgemein sind Potenzen auch für Exponenten n R definiert. Speziell für n Q \ Z ist von Wurzeln
die Rede, vgl. Abschnitt
1.3. Diese sind jedoch nur für a 0 definiert.
Fehlerwarnung: Summe und Produkt von Potenzen
Sind Basis und Exponent verschieden, so kann das Produkt zweier Potenzen nicht zusammengefasst
werden, im Allgemeinen gilt also:
a
m
· b
n
= (ab)
mn
a
n
± b
n
= (a ±b)
n
a
m
± a
n
= a
m±n
a
n
+ a
n
= 2a
n
= a
2n
Eine wichtige Hilfe beim Berechnen von Potenzen von Summen sind die
Binomischen Formeln:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1.2.10)
(a b)
2
= a
2
2ab + b
2
(1.2.11)
(a + b)(a b) = a
2
b
2
(1.2.12)
Eine weitere wichtige Hilfe ist das Pascal’sche Dreieck
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
Mit ihm kann eine beliebige Potenz n eines Binoms (a ±b)
n
schnell berechnet werden. Aus Zeile n = 4
resultiert beispielsweise
(a ±b)
4
= 1 ·a
4
± 4 · a
3
· b
1
+ 6 · a
2
· b
2
± 4 · a
1
· b
3
+ 1 · b
4
.
3
Beispiel 1.3. Rechnen mit Potenzen
1. 3
5
= 3 ·3 ·3 ·3 ·3 = 243
2. 3
5
=
1
3
5
=
1
243
3. 3
0
= 1
4. a
2
+ 2a
2
+ 3b
2
= 3a
2
+ 3b
2
= 3(a
2
+ b
2
)
5. a
2
· b
2
+ b
2
· b
4
a
2
· a
2
= (ab)
2
+ b
6
1
6. a
n
· a
n
= a
n+n
= a
2n
= (a
n
)
2
= (a
2
)
n
Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung!
ab
n
= a ·(b
n
), a
n
= (a
n
)
Häufig treten Fehler beim Potenzieren von negativen Zahlen auf. Beachte daher 2
4
= (2)
4
, denn es
gilt 2
4
= (2
4
) = 16 aber (2)
4
= (2) ·(2) ·(2) ·(2) = 16.
Potenzen (mit negativer Basis und) geradem Exponenten sind immer positiv!
Beispiel: (2)
4
= +16
Potenzen mit negativer Basis und ungeradem Exponenten sind immer negativ!
Beispiel: (2)
3
= 8
1.3 Wurzeln
Die Umkehroperation des Potenzierens ist das Radizieren (Wurzelziehen). Der Ausdruck
n
a = a
1
n
, a 0, n = 0
wird n–te Wurzel aus a genannt. Es gilt b =
n
a b
n
= a. Die Zahl a heißt hierbei Radikand, die Zahl
n ist der Wurzelexponent.
Konventionen:
a :=
2
a
n
0 = 0
Wurzelgesetze für m, n N\{0, 1} und a, b R, a 0, b > 0 gilt:
m
a ·
n
a =
mn
a
m+n
n
a ·
n
b =
n
ab
m
b
n
b
=
mn
b
nm
n
a
n
b
=
n
a
b
n
m
a =
mn
a
Jede Wurzel lässt sich auch als Potenz schreiben:
n
a = a
1
n
n
a
m
= (
n
a)
m
= a
m
n
für a 0, n = 0. Eine Wurzel ist daher nichts anderes als eine Potenz mit rationalem Exponenten. Die
Wurzelgesetze sind aus den Potenzgesetzen herleitbar.
4
Fehlerwarnung: Summe und Produkt von Wurzeln
Sind Wurzelexponent und Radikand verschieden, so lässt sich der Ausdruck nicht zusammenfassen.
Summen und Differenzen lassen sich auch bei Wurzeln nur zusammenfassen, wenn Radikand und
Wurzelexponent beide übereinstimmen (a, b, c, d 0). Im Allgemeinen gilt:
n
a +
n
b =
n
a + b
n
a +
m
a =
n+m
a
m
a ·
n
b =
mn
ab c ·
n
a + d ·
n
a = (c + d) ·
n
a
Zahlen unter die Wurzel bringen oder herausziehen:
Allgemein gilt für a, b > 0:
n
a
n
b =
n
a
n
·
n
b = a
n
b
Beispiel 1.4. Rechnen mit Wurzeln
1.
4x =
4 ·
x = 2
x, x 0
2.
3
27 = 3
3.
5
a
5
+ b
5
·
5
c =
5
(a
5
+ b
5
) ·c, a, b, c R
4. 5
3
y
2
=
3
5
3
·
3
y
2
=
3
5
3
y
2
=
3
125y
2
, y R
5. 2
4
3 + 5
4
3
4
2
3
5 = (2 + 5)
4
3
4
8 5 = 7
4
3
4
3 = 6
4
3
6. a
0,5
· a
0,8
= a
1
2
· a
4
5
= a
1
2
+
4
5
= a
13
10
=
10
a
13
= a
10
a
3
, a 0
Beim Rechnen mit Wurzeln empfiehlt es sich aus Gründen der Genauigkeit und Übersichtlichkeit, diese
nicht in Dezimalbrüche umzuwandeln, sondern möglichst lange als Wurzeln zu schreiben.
1.4 Logarithmen
Will man den Exponenten c einer Potenz b = a
c
über die Basis a ausdrücken, so geschieht dies über
den Logarithmus
c = log
a
b a
c
= b (1.4.1)
(gesprochen: c ist der Logarithmus von b zur Basis a“). Die Variable c ist also die Zahl, mit der a
potenziert werden muss, um b zu erhalten. Logarithmen sind nur definiert für a, b R
+
, a = 1.
Logarithmengesetze mit a R, a > 0, a = 1, r R und x, y > 0:
log
a
(x ·y) = log
a
x + log
a
y (1.4.2)
log
a
(
x
/y) = log
a
x log
a
y (1.4.3)
log
a
(x
r
) = r · log
a
x (1.4.4)
Folgerungen aus den Potenzgesetzen:
log
a
a := 1, denn a
1
= a (1.4.5)
log
a
1 := 0, denn a
0
= 1 (1.4.6)
a
log
a
b
= b. (1.4.7)
5
Der Ausdruck log
a
0 ist nicht definiert, denn a
c
= 0 ist für a = 0 mit keinem c zu erreichen und für a = 0
kann c beliebig gewählt werden, ist also nicht eindeutig bestimmt.
Spezielle Logarithmen: Ihrer Häufigkeit und Wichtigkeit entsprechend gibt es für Logarithmen zu den
Basen 2, 10 und e (Euler’sche Zahl) spezielle Namen (vgl. Abschnitt
2.3.6, Abb. 2.14).
ldx := log
2
x Basis a = 2, binärer Logarithmus
lg x := log
10
x Basis a = 10, dekadischer Logarithmus
ln x := log
e
x Basis a = e, natürlicher Logarithmus
Die Euler’sche Zahl e ist eine mathematische Konstante mit dem Wert 2,718 281 828 459 045 235. . .
Um den Logarithmus einer Zahl zu einer beliebigen Basis auszurechnen, kann die folgende Formel
genutzt werden:
log
c
b =
log
a
b
log
a
c
(1.4.8)
Der Quotient zweier Logarithmen zur gleichen Basis a ist unabhängig von der gewählten Basis a.
log
a
b
log
a
c
=
ln b
ln c
=
lg b
lg c
(1.4.9)
Weil die Logarithmen für die Basis a = 10 und a = e bekannt sind (aus Logarithmentabellen bzw.
Taschenrechner), werden vorwiegend diese genutzt.
Beispiel 1.5. Logarithmieren einer Gleichung
12
x
= 100 | Gl. (
1.4.1)
x = log
12
100 | Gl. (
1.4.8)
=
ln 100
ln 12
=
4, 60517 . . .
2, 48490 . . .
1, 8532
Wird stattdessen der dekadische Logarithmus verwendet, so entsteht natürlich das gleiche Ergebnis
x =
lg 100
lg 12
=
2
1, 07918 . . .
1, 8532.
Fehlerwarnung: Fehler durch falsches Kürzen beim Logarithmen:
ln x
ln y
=
x
y
oder gar
ln x
n
= lx
Weitere Fehlerquellen:
falsch: log
a
(3a) = 3 log
a
a = 3
richtig: log
a
(3a)
(
1.4.2)
= log
a
3 + log
a
a
(1.4.5)
= log
a
3 + 1
falsch: (ln x)
2
= 2 ln x, denn (ln x)
2
= ln(x
2
)
richtig: (ln x)
2
kann nicht weiter vereinfacht werden
falsch:
ln 4
ln 2
= ln 4 ln 2 = ln(
4
/2) = ln 2
6
richtig:
ln 4
ln 2
= log
2
4 = 2 (siehe Basiswechsel (
1.4.8))
richtig:
ln 4
ln 2
=
log
2
4
log
2
2
=
2
/1 = 2 (siehe Basiswechsel (
1.4.9))
Beispiel 1.6. Rechnen mit Logarithmen
1. log
5
1
/5 = log
5
5
1
(
1.4.4)
= 1 ·log
5
5
(1.4.5)
= 1 ·1 = 1
2. log
6
36
2
(
1.2.1)
= log
6
(6
4
)
(1.4.4)
= 4 ·log
6
6
(1.4.5)
= 4 ·1 = 4
3. log
2
1
/8
(
1.2.8)
= log
2
8
1
= log
2
2
3
= 3 ·log
2
2
(
1.4.5)
= 3 ·1 = 3
4. log
a
x
2
+ log
a
x
(
1.4.4)
= 2 log
a
x + log
a
x = 3 log
a
x
oder: log
a
x
2
+ log
a
x
(
1.4.2)
= log
a
(x
2
· x) = log
a
(x
3
) = 3 log
a
x
5. ln e
x
(1.4.4)
= x ln e = x ·log
e
e
(1.4.5)
= x ·1 = x
6. log
a
n + 1
n
2
(
1.4.3)
= log
a
(n + 1) log
a
n
2
(1.4.4)
= log
a
(n + 1) 2 log
a
n
7. ln x + lg x
(1.4.8)
= ln x +
ln x
ln 10
= ln x
1 +
1
ln 10
1.5 Trigonometrische Funktionen
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c und den
Winkeln α und β = 90
α. Über die trigonometrischen Funktionen lassen sich die Zusammenhänge
der Seitenverhältnisse mit den Winkeln darstellen, vgl. Abb.
1.1.
A
B
C
a
b
c
α
β
Abbildung 1.1: Katheten und Hypothenuse am rechtwinkligen Dreieck
sin(α) :=
a
c
=
Gegenkathete
Hypothenuse
(1.5.1)
cos(α) :=
b
c
=
Ankathete
Hypothenuse
(1.5.2)
tan(α) :=
a
b
=
sin(α)
cos(α)
=
Gegenkathete
Ankathete
(1.5.3)
sin(β) =
b
c
, cos(β) =
a
c
, tan(β) =
b
a
=
sin(β)
cos(β)
7
Ein weiterer wichtiger Zusammenhang wird durch den Satz des Pythagoras beschrieben.
Satz des Pythagoras:
Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat Hypothenuse.
Am Dreieck aus Abb. 1.1 bedeutet das
a
2
+ b
2
= c
2
. (1.5.4)
Die trigonometrischen Funktionen sind 2π–periodisch, was leicht zu erkennen ist, wenn der Einheitskreis
zu Hilfe genommen wird, vgl. Abb.
1.2. Das bedeutet, dass ein Winkel von 0 gleichbedeutend ist mit
einem Winkel von 2π, 4π, . . . oder
1
/2π gleichbedeutend mit
5
/2π,
9
/2π, . . ..
x
y
α
0
π
2
π
3π
2
1
1
π
2
π
π
2
π
x
y
arc(α)
Abbildung 1.2: Verdeutlichung von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. Die Beschriftungen in der linken
Abbildung bezieht sich auf den zugehörigen Winkel, nicht auf die x, y–Koordinaten.
Die Hypothenuse des eingezeichneten Dreiecks in Abb.
1.2 beträgt c = 1, damit ergibt sich die Kreis-
gleichung
a
2
+ b
2
= 1 bzw x
2
+ y
2
= 1.
Außerdem folgt mit Gl. (1.5.1) und (1.5.2) a = sin α und b = cos α, also
sin
2
(α) + cos
2
(α) = 1.
Tabelle 1.1: Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen (k Z)
Merkmal sin(x) cos(x) tan(x) cot(x)
Definitionsbereich R R x =
π
/2 + kπ x = kπ
Wertebereich [1, 1] [1, 1] R R
Nullstellen kπ
π
/2 + kπ kπ
π
/2 + kπ
Minima
3π
/2 + 2kπ π + 2kπ
Maxima
π
/2 + 2kπ 2kπ
Additionstheoreme:
sin (x ± y) = sin(x) cos(y) ±cos(x) sin(y)
cos (x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
8
2
Funktionen
2.1 Definitionen und Darstellungen
2.1.1 Definition
Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element x einer gegebenen Menge X (oft Zahlenmenge
X R) ein eindeutiges Element y einer Menge Y (oft Zahlenmenge Y R) zuordnet.
Schreibweise: y = f(x) oder f : X Y oder manchmal auch x → f(x). Man nennt f(x) das Bild
von x und umgekehrt x das Urbild von f(x).
Beispiel 2.1.
1. X = {−1, 1, 2}, Y = {0, 1}, f (1) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0
Dies ist eine Funktion (vgl. Abb. 2.1a).
2. A = {0, 100}, B = {2, 5}, g(0) = 5, g(100) = 2, g(100) = 5
Dies ist keine Funktion (vgl. Abb.
2.1b), da x = 100 nicht eindeutig ein y zugewiesen wird.
X
1
1
2
Y
0
1
(a) Funktion f
A
0
100
B
2
5
(b) Abbildung g, keine Funktion
Abbildung 2.1: f : X Y ist eine Funktion und g : A B ist keine Funktion
Die Menge X heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Die Menge Y , aus der
Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y–Werte zu-
sammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f(X).
Beispiel 2.2. Für die quadratische Funktion y = x
2
(siehe Abb.
2.2) ist der maximale Definitionsbereich
X = R und die Wertemenge ist Y = R
+
.
Die Bildmenge f(X) ist eine Teilmenge des Wertebereichs Y , und Y ist eine Teilmenge der Menge R
der reellen Zahlen, d. h. f(X) Y R (vgl. Abschnitt
A.1).
Eine Funktionsbeschreibung besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f, dem Definitionsbereich
X und dem Wertebereich Y .
Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften, die Definitionsbe-
reiche als auch die Wertebereiche übereinstimmen.
Allgemeiner nnen Funktionen auch als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also nicht
eingeschränkt auf Zahlenmengen) definiert werden.
9
1
2
3
4
1 212
x
y
Abbildung 2.2: quadratische Funktion f (x) = x
2
Die Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die sogenannte Funktions-
gleichung y = f(x) („y gleich f von x“). Dabei heißt x unabhängige Variable oder das Argument der
Funktion f und y abhängige Variable oder Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
Die Form y = f(x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Die Schreibweise y = f(x) oder
f : X Y für eine Funktion bedeutet, dass f eine Funktion ist, die von ihrem Definitionsbereich X in
den Wertebereich Y gemäß der Funktionsgleichung y = f(x) abbildet.
2.1.2 Darstellung
Funktionen können durch Schaubilder (Graphen) oder Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden.
Dabei stellt die Wertetabelle keine eindeutige oder vollständige Umschreibung dar. Der Graph einer
Funktion f mit dem Definitionsbereich X ist die Menge der geordneten Zahlenpaare
Γ
f
= {(x, y) |y = f(x), x X und y Y }.
Geordnet bedeutet, dass in (x, y) = (x, f (x)) die Reihenfolge von x und y wichtig ist: (x, y) ist im
Allgemeinen nicht gleich (y, x).
In einem kartesischen, 2–dimensionalen Koordinatensystem ist die waagerechte Achse die x–Achse
oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die y–Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die
Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x, y).
Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle werden
für einige ausgewählte Argumente x die geordneten Zahlenpaare (x, y) für eine Funktion y = f(x)
eingetragen. Dabei müssen die ausgewählten Werte für x Elemente des Definitionsbereichs X der
Funktion sein (in Zeichen: x X).
Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen ana-
lytischen Ausdruck dargestellt werden kann.
Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele mathematische Operationen
mit der unabhängigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten.
Beispiel 2.3. lineare Funktionen (vgl. Abschnitt
2.3.1):
1. y = 2x + 3, X = Y = R (vgl. Abb.
2.3b) 2. v = 2u, X = Y = R (vgl. Abb. 2.3a)
Wertetabellen:
x
3
/2 0
y 0 3
u
0 1
v 0 2
10
1
2
3
1
2
3
1 2 3
x
y
(a) monoton fallende Funktion y = 2x + 3
1
2
3
1
2
3
1 212
u
v
(b) monoton wachsende Funktion v = 2u
Abbildung 2.3: Graphen der linearen Funktion
Zum Zeichnen linearer Funktionen genügt es, die Funktionswerte von zwei Stellen zu berechnen.
Beispiel 2.4. y =
2
/x, X = (−∞; 0) (0; +), Y = (−∞; 0) (0; +) (siehe Abb. 2.4 blau und
Abschnitt
2.3.5)
Wertetabelle:
x 4 2 1 1 2 4
y
1
/2 1 2 2 1
1
/2
Beispiel 2.5. y =
x, X = [0; +), Y = [0; +) Quadratwurzel
(siehe Abb. 2.4 rot und Abschnitt 2.3.5)
Wertetabelle:
x 0 1 4
y 0 1 2
Beispiel 2.6. y = x
2
, X = R, Y = [0; +) Quadratische Funktion (siehe Abb.
2.5a und Ab-
schnitt 2.3.3)
Wertetabelle:
x
0 ±1 ±2
y 0 1 4
Beispiel 2.7. y =
2
/3 · x
3
, X = R, Y = R Kubische Funktion (siehe Abb.
2.5b und Abschnitt 2.3.4)
Wertetabelle:
x
2 1 0 1 2
y 8 1 0 1 8
2.2 Eigenschaften von Funktionen
Eine ausführlichere Behandlung folgt im Abschnitt
6.3. Hier sollen nur ein paar grundlegende Begriffe
erklärt werden, die im nächsten Abschnitt von Bedeutung sind.
Es sei y = f(x). Die Stelle x
0
heißt die Nullstelle der Funktion f(x), wenn f (x
0
) = 0 gilt. Es kann mehr
als eine Nullstelle geben.
11
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 512345
x
y
Abbildung 2.4: Hyperbelfunktion
2
/x (blau) und Wurzelfunktion
x (rot)
Die Nullstellen von f sind Lösungen der Gleichung f(x) = 0.
Anschaulich sind die Nullstellen von f(x) die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen mit der x
Achse.
Eine Funktion f heißt in einem bestimmten Bereich B X
monoton wachsend, falls
x
1
< x
2
f (x
1
) f(x
2
) x B
monoton fallend, falls
x
1
< x
2
f (x
1
) f(x
2
) x B
Eine Funktion heißt streng monoton wachsend/ fallend, falls f(x
1
) = f (x
2
) ausgeschlossen wird (vgl.
Abschnitt
5.1.5).
Beispiel 2.8. Im vorhergehenden Beispiel (siehe Abschnitt 2.1.2) wurden elementare Funktionen dis-
kutiert. Jetzt kann bestimmt werden, welche Funktionen monoton fallend oder wachsend sind.
1. f(u) = 2u ist streng monoton wachsend in R (vgl. Bsp. 2)
2. f(x) = 2x + 3 ist streng monoton fallend in R (vgl. Bsp.
1)
3. f(x) =
2
/x ist streng monoton wachsend im Bereich (−∞; 0) und auch im Bereich (0; +)
(vgl. Bsp. 2.4)
4. f(x) =
x ist streng monoton wachsend im Definitionsbereich X = [0; +) (vgl. Bsp. 2.5)
12
1
2
3
4
1 212
x
y
(a) quadratische Funktion y = x
2
1
2
1
2
1 212
x
y
(b) kubische Funktion y =
2
/3 · x
3
Abbildung 2.5: Normalparabel und Parabel 3. Ordnung
5. f(x) = x
2
ist streng monoton fallend in (−∞; 0] und streng monoton wachsend in [0; +) (vgl.
Bsp.
2.6)
6. f(x) =
2
/3 · x
3
streng monoton wachsend in R (vgl. Bsp.
2.7)
2.3 Spezielle Funktionstypen
2.3.1 Lineare Funktionen
Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung
f(x) = a + bx, a, b R, b = 0
ist eine affin lineare Funktion (ganzrationale Funktion 1. Grades). Wenn b = 0, d. h. f(x) = a, ist die
Funktion f (x) unabhängig von x, f(x) wird in diesem Fall eine konstante Funktion genannt (Abb.
2.6,
blau).
Die konstante Funktion ist monoton wachsend und monoton fallend zugleich.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der Name „lineare Funktion“), und zwar die
Gerade mit dem Anstieg (auch Höhenzuwachs oder Steigung) b und dem Achsenabschnitt a auf der
Ordinatenachse.
Ist a = 0, so wird die lineare Funktion y = bx auch lineare Funktion genannt. Der Graph einer linearen
Funktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung mit der Steigung b (Abb.
2.6 rot). Der
Parameter b wird auch Proportionalitätsfaktor der Gleichung genannt, denn es gilt y = bx, b =
y
/x (vgl.
Anstieg einer Funktion Abschnitt 6.2).
Für b > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend (Abb.
2.6 rot), für b < 0 ist sie streng monoton
fallend (Abb. 2.6 grün).
Den Schnittpunkt des Graphen der linearen Funktion mit der x–Achse (die Nullstelle) kann leicht ge-
funden werden: Dazu wird die Gleichung a + bx
0
= 0 nach x
0
aufgelöst. Addition von a auf und
Division durch b = 0 auf beiden Seiten führt zu x
0
=
a
/b. So konnte die Lösung x
0
dieser linearen
Gleichung gefunden werden.
Der Schnittpunkt des Graphen der linearen Funktion mit der y–Achse ist a, vgl. Abb.
2.6. Bei dem roten
Graph der Abbildung ist a gleich Null, im grünen Graph ist a negativ und im blauen ist a positiv.
13
1
2
3
1
2
3
1 2 3123
x
y
Abbildung 2.6: Monotonie linearer Funktionen: konstante Funktion (blau), monoton wachsende Funk-
tion (rot), monoton fallende Funktion (grün)
2.3.2 Betragsfunktionen
In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser so
genannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle
Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird mit |x| bezeichnet. Für eine reelle Zahl x gilt:
|x| =
x, x 0,
x, x < 0.
(2.3.1)
Beispiel 2.9.
1. |5| = 5 2. | 4| = 4
Der Graph der Betragsfunktion y = |x| ist in Abb.
2.7 dargestellt.
1
2
3
1 2 3123
x
y
Abbildung 2.7: Betragsfunktion y = |x|
Beispiel 2.10. Die Funktion f(x) = |x 3| gibt den Abstand von x zu 3 an.
2.3.3 Quadratische Funktionen
Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung in der Form
f(x) = a + bx + cx
2
, a, b, c R, c = 0
14
heißt quadratische Funktion (ganzrationale Funktion 2. Grades).
Der Schnittpunkt mit der y–Achse kann direkt abgelesen werden, da f(0) = a (vgl. Abb. 2.8, f (0) =
a =
6
/5).
1
2
3
4
1 2 312
x
y
Abbildung 2.8: Quadratische Funktion y =
1
/2 · x
2
x +
6
/5
Die Nullstellen von f(x) sind Lösungen der quadratischen Gleichung f (x) = 0 (siehe Abschnitt
3.2).
Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (Abb. 2.8). Parabeln besitzen einen tiefsten
bzw. höchsten Punkt, den Scheitel
(u, v) =
b
2c
, f
b
2c

=
b
2c
, a
b
2
4c
.
Jede Funktion 2. Grades lässt sich mit Hilfe des Prinzips der quadratischen Ergänzung in die Scheitel-
punktform umschreiben:
f(x) = c(x u)
2
+ v. (2.3.2)
In dieser Darstellung kann man den Scheitel (u, v) direkt ablesen.
Durch die quadratische Ergänzung soll ein Ausdruck so erweitert werden, dass er einen Binom enthält.
Dafür wird zuerst der Faktor c bzgl. quadratischen und linearen Gliedes ausgeklammert.
a + bx + cx
2
= c
x
2
+
b
/c · x
+ a
Anschließend wird zum Ausdruck innerhalb der Klammer ein Absolutglied (rot in Gl. (
2.3.3)) addiert,
sodass auf die Klammer eine binomische Formel angewandt werden kann (grün in Gl. (
2.3.4)). Um den
Wert des Gesamtausdrucks nicht zu verändern, muss dieses Absolutglied gleichzeitig wieder subtrahiert
werden (blau in Gl. (2.3.3)). Insgesamt wird eine Null addiert.
c
x
2
+
b
c
x
+ a = c
x
2
+
b
c
x +
b
2c
2
b
2c
2
+ a (2.3.3)
= c
x +
b
2c
2
b
2c
2
+ a (2.3.4)
= c
x +
b
2c
2
c
b
2c
2
+ a (2.3.5)
= c
x +
b
2c

xu
2
+
a
b
2
4c

v
(2.3.6)
15
Beispiel 2.11. Für die Funktion y =
1
/2 · x
2
x +
6
/5, vgl. Abb. 2.8, ist der Scheitel:
u =
b
2c
=
1
2 ·
1
/2
= 1
v = f(u)
=
1
/2 · (1)
2
(1) +
6
/5 =
27
/10
Der Faktor c steuert den Öffnungswinkel und die Öffnungsrichtung der Parabel. Durch Division durch
c = 0 (weil wir sonst eine lineare Funktion haben), erhält man die sogenannte Normalform der quadra-
tischen Funktionsgleichung f (x) = x
2
+ px + q (mit p =
b
/c und q =
a
/c).
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform lassen sich mit Hilfe der Diskriminanten D
bestimmen
x
1,2
=
p
2
±
p
2
4
q
=
1
2
p ±
D
, D = p
2
4q
Für die Zahl der Lösunge gilt
D > 0: zwei D = 0: genau eine D < 0: keine
Mit Hilfe des Satzes von Vieta lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer quadrati-
schen Funktion und den Parametern der Normalform herstellen.
Satz von Vieta:
Sind x
1
und x
2
die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x), dann resultieren die Parameter der
Normalform aus
p = (x
1
+ x
2
), q = x
1
· x
2
.
Beispiel 2.12. x
1
= 2, x
2
= 3 p = (2 + 3) = 5, q = 2 ·3 = 6
f(x) = x
2
5x + 6 = (x 2)(x 3)
Mit den Koeffizienten p = q = 0 resultiert die Gleichung der Normalparabel (f(x) = x
2
Abb.
2.5a).
Der Punkt (0, 0), also der Koordinatenursprung, ist der Scheitelpunkt der Normalparabel. Die Normal-
parabel ist symmetrisch zur y–Achse und nach oben geöffnet.
2.3.4 Kubische Funktion
Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung
f(x) = a + bx + cx
2
+ dx
3
, a, b, c, d R, d = 0
heißt kubische Funktion (ganzrationale Funktion 3. Grades).
Der Graph jeder kubischen Funktion ist eine kubische Parabel. Die kubische Normalparabel y = x
3
ergibt sich mit den Koeffizienten a = b = c = 0, d = 1 (Abb.
2.9).
Abhängig von den Koeffizienten a, b, c, d gibt es einen, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Berührungs-
punkt) oder drei Schnittpunkte mit der x–Achse. Der Schnittpunkt mit der y–Achse ist (0, a).
Die kubische Normalparabel schneidet sowohl die x–Achse als auch die y–Achse im Ursprung.
16
1
2
3
4
1
2
3
4
1 212
x
y
Abbildung 2.9: Kubische Normalparabel y = x
3
2.3.5 Potenz- und Wurzelfunktionen
Potenzfunktionen
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form
f(x) = x
n
, n Q
heißen Potenzfunktionen. Dabei ist n der Exponent oder auch Grad der Potenzfunktion. Meist wird
für n Z von Potenzfunktionen und speziell für n Q \ Z von Wurzelfunktionen (siehe dazu Ab-
schnitt
2.3.5) gesprochen. Bei Wurzelfunktionen ist jedoch zusätzlich x 0 zu beachten.
Fall 1: Ganzzahlig positiver Exponent Der Graph einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten
n N \{0} wird Parabel n–ten Grades genannt.
In Abb.
2.10 ist erkennbar, dass der Graph einer Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten
(n = 2, 4, 6, . . .) symmetrisch zur y–Achse ist, die Funktion ist gerade. Außerdem sind ale Funktionswerte
nicht negativ. Bei ungeradem, positivem Exponenten (n = 1, 3, 5, . . .) ist der zugehörige Funktionsgraph
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (vgl. Abb.
2.11), die Funktion ist daher ungerade (vgl.
Abschnitt 6.3.4).
Definitionsbereich: D
f
= R
Nullstellen: x
0
= 0 je nach Grad n der Potenzfunktion ist es eine n–fache Nullstelle
Monotonie:
gerader Exponent: monoton fallend für x 0, monoton wachsend für x 0
ungerader Exponent: monoton wachsend
17
1
2
3
1
2
3
1 212
x
y
1
2
3
1
2
3
1 212
x
y
Abbildung 2.10: Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten n (blau n = 2, cyan
n = 4, rot n = 3, orange n = 5)
Werden solche Potenzfunktionen durch Skalierung, Verschiebung entlang der Koordinatenachsen oder
Verkettung untereinander transformiert, so entstehen beispielsweise quadratische und kubsiche Funk-
tionen (siehe dazu Abschnitt
2.3.3 und 2.3.4).
Fall 2: Ganzzahlig negativer Exponent n Z und n 1
Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem, ganzem Exponenten n wird Hyperbel genannt. Er
besteht immer aus zwei Teilen, den sogenannten Hyperbelästen. Anhand von Abb.
2.11 ist erkenn-
bar, dass der Graph einer Potenzfunktion mit negativem geradem Exponent (n = 2, 4, 6, . . .)
symmetrisch bezüglich der y–Achse ist, die Funktion ist gerade. Bei negativem ungeradem Exponent
(n = 1, 3, 5, . . .) ist der zugehörige Funktionsgraph symmetrisch bezüglich der Geraden y = x.
Definitionsbereich: D
f
= R \{0}
Nullstellen: keine
Monotonie:
gerader Exponent: monoton wachsend für x 0, monoton fallend für x 0
ungerader Exponent: monoton fallend auf x < 0 und x > 0
18
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
1 2 3123
x
y
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
1 2 3123
x
y
Abbildung 2.11: Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten n (blau n = 1, cyan
n = 3, grün n = 5, rot n = 2, orange n = 4)
Wurzelfunktionen
Potenzfuntkionen mit gebrochenem Exponenten n =
p
/q, wobei p, q N \{0} teilerfremd sind, werden
Wurzelfunktionen genannt. Die einfachste Wurzelfunktion ist dabei
f(x) = x
1
/2
=
x, x 0,
vgl. Abschnitt
1.3 und Abb. 2.12.
1
2
1 2 3 4 5
x
y
Abbildung 2.12: Wurzelfunktionen (blau zweite Wurzel, rot dritte Wurzel, grüen fünfte Wurzel
Eigenschaften der Wurzelfunktion f(x) =
n
x:
Definitionsbereich: D
f
= [0, +)
Nullstellen: x
0
= 0
Monotonie: monoton wachsend
19
Krümmung: konkav
2.3.6 Exponential- und Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form
f(x) = a
x
, a R, a > 0, a = 1
heißen Exponentialfunktionen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen befindet sich die Variable x im
Exponenten und nicht in der Basis.
Definitionsbereich: D
f
= R
Nullstellen: keine
Monotonie: für 0 < a < 1 monoton fallend, für a > 1 monoton wachsend
Krümmung: konvex, a R, a = 0
Schnittpunkt mit y–Achse: immer (0; 1), denn a
0
= 1, a R, a = 0
1
2
3
4
5
1 2123
x
y
(a) Exponentialfunktion, positiver Exponent n
1
2
3
4
5
1 2 312
x
y
(b) Exponentialfunktion, negativer Exponent n
Abbildung 2.13: Beispiele für Exponentialfunktionen (blau n = 1, cyan n = 2, grün n = 3)
Spezialfall der Exponentialfunktionen ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Euler’schen Zahl e
(vgl. Abschnitt
1.4):
f(x) = e
x
.
Häufig bezeichnet man diese Funktion auch schlichtweg als Exponentialfunktion oder kurz e–Funktion.
Fehlerwarnung: Am PC oder Taschenrechner wird das Symbol e manchmal für die Exponentialdarstel-
lung von Zehnerpotenzen genutzt. Dies kann zu Missverständnissen führen.
20
Logarithmusfunktionen
Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form
f(x) = log
a
x, a R, a > 0, a = 1
heißen Logarithmusfunktionen mit der Basis a (vgl. Abschnitt
1.4).
Definitionsbereich: D
f
= (0; +)
Nullstellen: x
0
= 1 für a R, a > 0, a = 1
Monotonie: für 0 < a < 1 monoton fallend, für a > 1 monoton wachsend
Krümmung: für a > 1 konkav, für 0 < a < 1 konvex
In Abb. 2.14 ist die asymptotische Annäherung an die y–Achse für x gegen Null erkennbar (vgl.
Grenzwerte, Abschnitt
6.1.1).
1
2
1
2
3
1 2 3 4 5
x
y
Abbildung 2.14: Logarithmusfunktionen mit verschiedenen Basen b (blau b = e, cyan b = 10, grün
b = 2)
2.4 Graphentransformation
Betrachten wir jetzt verschiedene Möglichkeiten eine Funktion f (x) zu modifizieren.
2.4.1 Verschiebung
Horizontalverschiebung
˜
f(x) = f (x + a)
Verschiebung entlang der x–Achse um a, Änderung des Definitionsbereichs:
˜
X = X + a, keine Ände-
rung des Wertebereichs.
21
nach rechts, falls a < 0 nach links, falls a > 0
Beispiel 2.13. Die Funktion f(x) = 2x
2
wird in
˜
f(x) = f(x 3) = 2(x 3)
2
transformiert. Der
Parameter a = 3 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach rechts (Abb.
2.15, blau).
Vertikalverschiebung
˜
f(x) = f (x) + b
Verschiebung entlang der y–Achse um b, Änderung des Wertebereichs:
˜
Y = Y + b.
nach oben, falls b > 0 nach unten, falls b < 0
Beispiel 2.14. Die Funktion f(x) = 2·x
2
wird in die Funktion
˜
f(x) = f (x)2 = 2·x
2
2 transformiert.
Der Parameter b = 2 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach unten (Abb.
2.15, rot).
Beispiel 2.15. Die Funktion f(x) = 2x
2
wird in die Funktion
˜
˜
f(x) = f(x + 1) 3 = 2(x + 1)
2
3
transformiert.
Schritt 1:
˜
f(x) = f (x + 1) = 2(x + 1)
2
: a = 1 ist positiv, Verschiebung des Graphen nach links
Schritt 2:
˜
˜
f(x) =
˜
f(x) 3 = 2(x + 1)
2
3: b = 3 ist negativ, Verschiebung des Graphen nach oben
(Abb.
2.15, grün).
1
2
3
4
1
2
3
1 2 3 4123
x
y
Abbildung 2.15: verschiedene Verschiebungen der Funktion y = 2x
2
(schwarz Ausgangsfunktion,
blau Horizontalverschiebung um a = 3, rot Vertikalverschiebung um b = 2, grün Horizontal-
und Vertikalverschiebung um a = 1 und b = 3)
2.4.2 Multiplikation mit einer Zahl
Dehnen entlang der y–Achse
˜
f(x) = c ·f (x)
22
Strecken um den Faktor c, falls c > 1 Stauchen um den Faktor c, falls 0 < c < 1
Dehnen des Graphen entlang der y–Achse, Änderung des Wertebereichs:
˜
Y = c ·Y .
Spezialfall: Spiegelung an der x–Achse, falls c = 1. Der Graph wird nach unten geklappt.
Beispiel 2.16.
1. f(x) = x
2
:
Transformation in
˜
f
1
(x) =
1
/2 · f(x) =
1
/2 · x
2
. Wegen c
1
=
1
/2 (0, 1) Stauchen des Graphen
(Abb.
2.16a rot).
Transformation in
˜
f
2
(x) = 2 ·f(x) = 2x
2
. Wegen c
2
= 2 > 1 Strecken des Graphen (Abb. 2.16a
blau).
2. f(x) = x
2
: Transformation in
˜
f(x) = f (x) = x
2
(Abb.
2.16b).
1
2
3
4
1 212
x
y
(a) Stauchen (rot) und Strecken (blau) von
f(x) = x
2
(schwarz)
1
2
1
2
1 212
x
y
(b) Spiegelung (blau) von f(x) =
1
/2 · x
2
(schwarz)
Abbildung 2.16: Stauchen, Strecken, Spiegeln von Funktionen
Dehnen entlang der x–Achse
˜
f(x) = f (dx)
Stauchen um den Faktor d, falls d > 1 Strecken um den Faktor d, falls 0 < d < 1
Dehnen entlang der x–Achse, Änderung des Definitionsbereichs:
˜
X =
1
/d · X.
Spezialfall: Spiegelung, falls d = 1 (Symmetrie bzgl. x–Achse).
Beispiel 2.17.
1. f(x) = x
2
:
Transformation in
˜
f
1
(x) = f(2x) = (2x)
2
= 4x
2
. Wegen d
1
> 1 Stauchen des Graphen.
Transformation in
˜
f
2
(x) = f (
1
/2 · x) = (
1
/2 · x)
2
=
1
/4 · x
2
. Wegen 0 < d
2
< 1 Strecken des
Graphen.
2. f(x) = x
2
: Transformation in
˜
f(x) = f (x) = x
2
, Spiegelung (Abb.
2.16b).
Es gilt:
˜
f(x) = f (x)!
Um den Unterschied zwischen Vervielfachung des Argumentes und Vervielfachung der Funktionen deut-
licher zu erkennen, werden folgende Beispiele betrachtet.
Beispiel 2.18. Sei f(x) = sin(x) die Ausgangsfunktion.
23